สมการแห่งการไหล

บทนำ · ข่าวนี้สำคัญอย่างไร

สมการแห่งการไหล

สมการนาเวียร์–สโตกส์ (Navier–Stokes equations) อธิบายการเคลื่อนที่ของของไหล ทั้งของเหลวและแก๊สอย่างอากาศ วิศวกรใช้มันออกแบบเครื่องบินและรถยนต์ แพทย์ใช้ศึกษาการไหลของเลือด นักพยากรณ์อากาศใช้คาดการณ์ลมฟ้าอากาศ แต่ยังมีคำถามพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ข้อหนึ่งที่ไม่มีใครตอบได้ คือในสามมิติ คำตอบของสมการจะ “เรียบ” ตลอดไปหรือไม่ หรือมีโอกาส “ระเบิด” (blow-up) ได้ ในปี 2000 สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ (Clay Mathematics Institute) จึงยกให้เป็นหนึ่งในเจ็ดปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษ (Millennium Prize Problems) ข้อละหนึ่งล้านดอลลาร์สหรัฐ

ในข่าว: เมื่อวันที่ 8 กันยายน 2026 OpenAI ประกาศว่าระบบ AI ภายในบริษัทพบคำตอบที่ระเบิดได้ และเผยแพร่บทพิสูจน์ที่เขียนในโปรแกรมตรวจบทพิสูจน์ Lean แต่ยังไม่ผ่านการตรวจทานโดยผู้ทรงคุณวุฒิ (peer review) ยังไม่ได้รับการรับรองจากสถาบันเคลย์ และยังมีข้อโต้แย้งเรื่องว่าใครควรได้รับเครดิต บทที่ VI จะเล่าว่ามีการอ้างอะไร และอะไรยังเป็นคำถามเปิดอยู่

เขียนขึ้นครั้งแรก

1822–1845

โดยนาเวียร์และสโตกส์ ต่อยอดจากสมการของออยเลอร์ปี 1757

รางวัลแห่งสหัสวรรษ

1 ล้านดอลลาร์

สถาบันเคลย์ตั้งไว้ตั้งแต่ปี 2000

ลูกโลกแสดงรูปแบบลมเพื่อประกอบความเข้าใจ ได้แก่ ลมค้า ลมตะวันตก และพายุหมุน ไม่ใช่ข้อมูลสภาพอากาศจริง

วิธีใช้: เลือกบทใต้ภาพ หรือกด ← → เพื่อเปลี่ยนขั้น · ▶ เล่นขั้นนั้น · ลากเพื่อหมุน เลื่อนหรือถ่างนิ้วเพื่อซูม · ในบทที่ III และ V คุณใช้นิ้วหรือเมาส์กวนของไหลจำลองได้จริง · “เล่นทั้งเรื่อง” จะเล่นทุกขั้นแบบเต็มจอ

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): Wikipedia: Navier–Stokes equations; Clay Mathematics Institute: Navier–Stokes Equation; OpenAI: On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem (8 Sep 2026, updated 10 Sep); Smithsonian Magazine (10 Sep 2026)

บทที่ I · ขั้นที่ 1 · ปี 1757

ของไหลในอุดมคติของออยเลอร์

สมการของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1757 ในบทความ “Principes généraux du mouvement des fluides” ในวารสาร Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin สมการนี้อธิบายของไหลที่ไม่มีแรงเสียดทานภายใน (inviscid fluid) ความเร่งของของไหลแต่ละก้อนถูกกำหนดโดยแรงดันจากก้อนข้างเคียง และแรงภายนอกอย่างแรงโน้มถ่วง

1. มวล × ความเร่งของก้อนของไหล (ลูกศรสีเหลืองและสีส้ม)…
2. …เท่ากับแรงที่เกิดจากความต่างของความดัน (ลูกศรสีแดง ชี้จากความดันสูงไปต่ำ)…
3. …รวมกับแรงภายนอก เช่น แรงโน้มถ่วง (ลูกศรสีเขียว)

ในภาพ ก้อนของไหลไหลตามเส้นทางที่โค้ง การจะเลี้ยวได้ต้องมีแรงดันด้านข้าง ซึ่งมาจากความดันด้านนอกโค้งที่สูงกว่าด้านใน ความยาวลูกศรเป็นเพียงภาพประกอบ

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): Wikipedia: Euler equations (fluid dynamics)

บทที่ I · ขั้นที่ 2 · ปี 1822 และ 1845

ความหนืด: แรงเสียดทานภายในของไหล

หากไม่มีแรงเสียดทาน ทฤษฎีจะบอกว่าวัตถุที่เคลื่อนผ่านของไหลด้วยความเร็วคงที่ไม่มีแรงต้านเลย ซึ่งขัดกับประสบการณ์จริง (ปฏิทรรศน์ของดาล็องแบร์ ปี 1752) โกลด-หลุยส์ นาเวียร์เสนอบันทึกที่มีพจน์ความหนืดต่อราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์ฝรั่งเศสในเดือนมีนาคม 1822 โดยซีเมอง เดอนี ปัวซอง ได้ผลแบบเดียวกันอย่างอิสระ ส่วนจอร์จ กาเบรียล สโตกส์ ตีพิมพ์งานเรื่อง “แรงเสียดทานภายในของของไหลที่เคลื่อนที่” ในปี 1845

นาเวียร์

1822

วิศวกรโยธาชาวฝรั่งเศส (1785–1836)

สโตกส์

1845

ต่อมาดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์ลูคัสแห่งเคมบริดจ์ (1819–1903)

น้ำที่ 20 °C

~1 mPa·s

ความหนืดพลวัต (dynamic viscosity)

น้ำผึ้งที่ 20 °C

~2,000–10,000 mPa·s

หนืดกว่าน้ำหลายพันเท่า

ภาพนี้คือแบบจำลองคลาสสิกของความหนืด: ของไหลอยู่ระหว่างแผ่นที่เลื่อนกับแผ่นที่อยู่นิ่ง ของไหลที่แตะแผ่นใดจะเคลื่อนไปพร้อมแผ่นนั้น (เงื่อนไขไม่ลื่นไถล หรือ no-slip condition) และแรงเสียดทานระหว่างชั้นทำให้ความเร็วเรียงตัวเป็นเส้นตรง ลองกดปุ่มบนภาพให้ของไหลใสขึ้นหรือหนืดขึ้น แล้วดูว่าการเคลื่อนที่ส่งลงไปเร็วแค่ไหน

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): Wikipedia: d’Alembert’s paradox; Wikipedia: Navier–Stokes equations; Wikipedia: Claude-Louis Navier; Wikipedia: George Gabriel Stokes; Britannica: Navier–Stokes equation; Wikipedia: Viscosity; Wikipedia: No-slip condition

บทที่ II · ขั้นที่ 3 · สมการบอกอะไร

กฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับของไหล

สมการนาเวียร์–สโตกส์สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ ซึ่งมีความหนาแน่นคงที่ ρ และความหนืดจลน์ ν โดยมีความเร็ว u ความดัน p และแรงภายนอกต่อหน่วยมวล f:

∂ u ∂ t + ( u · ∇ ) u = − 1 ρ ∇ p + ν ∇ 2 u + f ∇ · u = 0

• ∂u/∂tอัตราที่ความเร็วเปลี่ยนไปตามเวลา ณ จุดหนึ่งที่อยู่กับที่
• (u·∇)uการพา (advection) หรือความเฉื่อย: ก้อนของไหลพาความเร็วของตัวเองไปยังบริเวณที่การไหลต่างออกไป พจน์นี้เอาความเร็วคูณกับความเร็ว จึงเป็นพจน์ไม่เชิงเส้น และเป็นต้นเหตุของทั้งความปั่นป่วนและความยากทางคณิตศาสตร์
• −(1/ρ)∇pความดันดันจากบริเวณความดันสูงไปยังความดันต่ำ
• ν∇²uความหนืดทำให้โมเมนตัมแผ่กระจายออก คล้ายความร้อนที่แผ่ออก จึงเกลี่ยความต่างของความเร็วระหว่างก้อนข้างเคียง ถ้าตัดพจน์นี้ทิ้ง (ν = 0) ก็จะได้สมการของออยเลอร์
• fแรงภายนอกที่กระทำต่อของไหล เช่น แรงโน้มถ่วง
• ∇·u = 0การอัดตัวไม่ได้: ไม่มีของไหลเกิดขึ้นหรือหายไป และของไหลแต่ละก้อนคงปริมาตรเดิม

ดูลูกศรบนก้อนของไหลในภาพ แต่ละสีตรงกับพจน์หนึ่งในสมการ สมการรูปแบบอัดตัวไม่ได้นี้ใช้ได้ดีกับของเหลว และกับอากาศที่เคลื่อนที่ช้ากว่าเสียงมาก (ไม่เกินราว 0.3 มัค)

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): Wikipedia: Navier–Stokes equations; Wikipedia: Reynolds number

บทที่ III · ขั้นที่ 4 · ปี 1883

การทดลองของเรย์โนลด์ส

เรย์โนลด์สปล่อยน้ำสีสายเล็ก ๆ เข้าไปตรงกลางน้ำใสที่ไหลในท่อแก้ว โดยมีวาล์วที่ปลายท่อไว้ปรับความเร็ว เมื่อน้ำไหลช้า สายสีคงรูปตลอดความยาวท่อ เมื่อเร็วขึ้น สายสีแตกออกที่จุดหนึ่งแล้วแผ่ไปทั่วหน้าตัดท่อ ผลการทดลองตีพิมพ์ในปี 1883

เลขเรย์โนลด์ส

การไหลจะราบเรียบหรือปั่นป่วนขึ้นกับค่าผสมเพียงค่าเดียว ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าเลขเรย์โนลด์ส (Reynolds number): Re = uL/ν คือความเร็ว u คูณขนาด L หารด้วยความหนืดจลน์ ν ค่านี้เปรียบเทียบพจน์การพา (ความเฉื่อย) กับพจน์ความหนืดในสมการ

การไหลในท่อแบบราบเรียบ

Re < ~2,300

สำหรับการไหลที่คงตัวแล้วในท่อกลม

การไหลในท่อแบบปั่นป่วน

Re > ~2,900

ช่วงระหว่างนั้นจะปั่นป่วนเป็นพัก ๆ

ภาพนี้เป็นแบบจำลองสองมิติที่แก้สมการบนตารางกริดสด ๆ ขณะที่คุณดู เปรียบเหมือนภาพตัดผ่านท่อ ท่อจริงเป็นสามมิติและเปลี่ยนเป็นปั่นป่วนที่ค่า Re สูงกว่าที่แบบจำลองหยาบ ๆ นี้แสดงได้ตรง ๆ ค่าบนแถบเลื่อนจึงเป็นค่าอ้างอิงของจริง และแบบจำลองใส่การรบกวนเล็ก ๆ ที่ทางเข้าแทนการรบกวนในโลกจริง

ลองเล่น: เลื่อนแถบ หรือลากผ่านน้ำเพื่อกวน

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): Wikipedia: Osborne Reynolds; Wikipedia: Reynolds number

บทที่ III · ขั้นที่ 5 · ปี 1911–1912

การหลุดของกระแสวนและแถวกระแสวนคาร์มาน

ของไหลที่ไหลผ่านวัตถุทู่จะแยกตัวออกจากผิววัตถุ และในช่วงเลขเรย์โนลด์สช่วงหนึ่ง จะปล่อยกระแสวนสลับกันทีละด้าน สำหรับทรงกระบอกกลม การหลุดของกระแสวนเริ่มที่ราว Re ≈ 47 ทีโอดอร์ ฟอน คาร์มาน วิเคราะห์รูปแบบนี้ในบทความปี 1911 และ 1912 โดยเขายอมรับว่าอาร์นุลฟ์ มัลล็อก และอองรี เบนาร์ ได้สังเกตไว้ก่อนแล้ว

จุดเริ่ม (ทรงกระบอก)

Re ≈ 47

คิด Re จากเส้นผ่านศูนย์กลางทรงกระบอก

ในเมฆ

> 400 กม.

แถวกระแสวนหลังเกาะยาวได้ขนาดนี้ เห็นได้จากดาวเทียม

ทำไมจึงสำคัญ

กระแสวนที่หลุดสลับกันจะผลักวัตถุไปมาทางด้านข้าง

ถ้าจังหวะตรงกับความถี่ธรรมชาติของโครงสร้าง อาจสั่นแรงมาก เช่น สายไฟที่ส่งเสียงร้อง เสาอากาศรถยนต์ หรือปล่องไฟสูง

แบบจำลองสองมิติแบบสด จุดวัดด้านหลังทรงกระบอกวัดการไหลในแนวขวาง และกล่องข้อมูลนับจำนวนกระแสวนที่หลุดออก สีส้มหลุดจากด้านบนของทรงกระบอก สีฟ้าหลุดจากด้านล่าง ความคลาดเคลื่อนเชิงตัวเลขของแบบจำลองทำตัวเหมือนความหนืดเพิ่มขึ้นเล็กน้อย ค่า Re ในแบบจำลองจึงเป็นค่าโดยประมาณ

ลองเล่น: เลือกเลขเรย์โนลด์สในกล่องบนภาพ หรือลากผ่านน้ำเพื่อกวน

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): Wikipedia: Kármán vortex street; Wikipedia: Reynolds number

บทที่ III · ขั้นที่ 6 · มาตรวัดสำหรับการไหลทุกแบบ

เลขเรย์โนลด์ส จากแบคทีเรียถึงพายุหมุน

Re คืออัตราส่วนของแรงเฉื่อยต่อแรงหนืด เมื่อค่าน้อย ความหนืดจะเกลี่ยทุกอย่างให้เรียบ การไหลจึงราบเรียบ เมื่อค่ามาก ความเฉื่อยชนะ การไหลมักกลายเป็นแบบปั่นป่วน แนวคิดนี้ริเริ่มโดยจอร์จ สโตกส์ในปี 1851 และอาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ ตั้งชื่อตามออสบอร์น เรย์โนลด์ส ในปี 1908

ค่าโดยประมาณ

• ~10⁻⁴ แบคทีเรีย
• ~1 ปลาที่เล็กที่สุด
• ~10³ เลือดในหลอดเลือดแดงใหญ่ (เอออร์ตา)
• ~2×10⁵ ลูกเบสบอลที่ถูกขว้าง
• ~4×10⁶ คนว่ายน้ำ
• ~4×10⁸ วาฬสีน้ำเงิน
• ~5×10⁹ เรือขนาดใหญ่
• ~10¹² พายุหมุนเขตร้อน

แกนเป็นสเกลลอการิทึม แต่ละขีดมากกว่าขีดก่อนหน้าสิบเท่า จุดสีฟ้าคือการไหลแบบหนืดและราบเรียบ จุดสีส้มคือการไหลแบบปั่นป่วน

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): Wikipedia: Reynolds number

บทที่ IV · ขั้นที่ 7 · ปี 1922 และ 1941

การถ่ายทอดพลังงานแบบขั้นบันได (energy cascade)

ลูอิส ฟราย ริชาร์ดสัน มองความปั่นป่วนว่าประกอบด้วยกระแสวนหลายขนาด กระแสวนใหญ่แตกตัวเป็นกระแสวนที่เล็กลง กลอนของเขาจากหนังสือ Weather Prediction by Numerical Process (1922) เขียนว่า “Big whirls have little whirls that feed on their velocity, and little whirls have lesser whirls and so on to viscosity.” แปลความได้ว่า วนใหญ่มีวนเล็กที่กินความเร็วของมัน และวนเล็กก็มีวนที่เล็กกว่า ต่อไปเรื่อย ๆ จนถึงความหนืด

ปี 1941 อันเดรย์ คอลโมโกรอฟ เสนอว่าเมื่อเลขเรย์โนลด์สสูงมาก กระแสวนขนาดเล็กจะมีลักษณะทางสถิติเหมือนกันทุกทิศทาง และขึ้นกับเพียงอัตราการสลายพลังงานกับความหนืด ผลที่ตามมาคือพลังงานกระจายตามขนาดของกระแสวนตามกฎกำลัง −5/3 (อะเล็กซานเดอร์ โอบูคอฟ เสนอผลเดียวกันอย่างอิสระในปีเดียวกัน) ซึ่งการทดลองโดยรวมยืนยันว่าเป็นจริง

สเปกตรัม

E(k) ∝ k^−5/3

k คือเลขคลื่น = 1 ÷ ขนาดกระแสวน

กระแสวนที่เล็กที่สุด

η = (ν³/ε)^¼

สเกลคอลโมโกรอฟ เช่น ราวหนึ่งมิลลิเมตรในลมที่พัดรอบตึกสูง

ในภาพ สีต่าง ๆ แทนกระแสวนแต่ละรุ่น ตามการคำนวณของคอลโมโกรอฟ กระแสวนที่เล็กกว่าจะหมุนครบรอบเร็วกว่า จุดสีแดงเรือง ๆ ตอนท้ายแทนพลังงานที่กลายเป็นความร้อน ริชาร์ด ไฟน์แมน เคยกล่าวว่าความปั่นป่วนคือปัญหาที่สำคัญที่สุดที่ยังไม่มีคำตอบในฟิสิกส์ดั้งเดิม

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): Wikipedia: Lewis Fry Richardson; Wikipedia: Energy cascade; Wikipedia: Kolmogorov microscales; Wikipedia: Turbulence

บทที่ V · ขั้นที่ 8 · ปี 1922 ถึงปัจจุบัน

การพยากรณ์อากาศ

การพยากรณ์อากาศมองบรรยากาศเป็นของไหล: วัดสภาพปัจจุบัน แล้วใช้สมการพลศาสตร์ของไหลและอุณหพลศาสตร์คำนวณไปข้างหน้าทีละช่วงเวลา ลูอิส ฟราย ริชาร์ดสัน ใช้เวลาอย่างน้อยหกสัปดาห์คำนวณด้วยมือ เพื่อพยากรณ์ล่วงหน้าหกชั่วโมงสำหรับสองจุดในยุโรปกลาง ในหนังสือ Weather Prediction by Numerical Process (1922) เขาจินตนาการถึง “โรงงานพยากรณ์อากาศ” ที่เต็มไปด้วยมนุษย์คอมพิวเตอร์

พยากรณ์ด้วยคอมพิวเตอร์ครั้งแรก

1950

เครื่อง ENIAC ใช้แบบจำลองที่ลดรูปอย่างมาก

ขนาดกล่องกริดปัจจุบัน

~5–300 กม.

ต่อด้าน แล้วแต่แบบจำลอง

สมการที่ใช้

“สมการปฐมฐาน” (primitive equations)

สมการของไหลที่ปรับให้เหมาะกับชั้นอากาศบาง ๆ บนดาวเคราะห์ที่หมุนรอบตัวเอง ใช้ร่วมกับกฎแก๊สอุดมคติ

ตารางสีทองบนลูกโลกแทนกล่องที่แบบจำลองใช้คำนวณ แบบจำลองจริงละเอียดกว่ามาก จุดสว่างสองจุดคือบริเวณที่ริชาร์ดสันคำนวณการพยากรณ์ของเขาโดยประมาณ ภาพนิ่งเต็มจอเป็นภาพจินตนาการของโรงงานพยากรณ์อากาศที่สร้างด้วย AI

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): Wikipedia: Numerical weather prediction; Wikipedia: Lewis Fry Richardson

บทที่ V · ขั้นที่ 9 · คอมพิวเตอร์แก้สมการอย่างไร

พลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ (CFD)

พลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ (computational fluid dynamics หรือ CFD) แก้สมการนาเวียร์–สโตกส์ด้วยวิธีเชิงตัวเลข ใช้ออกแบบเครื่องบินและรถยนต์ จำลองสภาพอากาศ งานวิศวกรรมชีวการแพทย์ และเทคนิคพิเศษในภาพยนตร์ แบบจำลองสดในเรื่องนี้ใช้วิธี “Stable Fluids” ของโจส สแตม (SIGGRAPH 1999) บนกริดสองมิติแบบหยาบ คำนวณในเบราว์เซอร์ของคุณเอง

1. พา (advect): พาความเร็วและสีย้อมไปตามการไหล (พจน์ (u·∇)u)
2. แพร่ (diffuse): ผสมแต่ละช่องกับช่องข้างเคียง (พจน์ ν∇²u)
3. ฉาย (project): แก้หาความดันที่ขจัดการอัดตัว ให้ได้ ∇·u = 0 (พจน์ ∇p)

ต้นทุนของการจับกระแสวนทุกขนาด

N³ ≥ Re^9/4

จำนวนจุดกริดที่ต้องใช้ในการจำลองสามมิติแบบเต็ม (DNS) งาน CFD ทางวิศวกรรมส่วนใหญ่จึงใช้แบบจำลองความปั่นป่วน เช่น RANS หรือ LES แทน

เส้นจาง ๆ บนถังคือช่องกริดจริงที่แบบจำลองนี้คำนวณ ลากผ่านน้ำเพื่อกวนได้

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): Wikipedia: Computational fluid dynamics; Wikipedia: Direct numerical simulation; ACM SIGGRAPH History Archive: “Stable fluids”, Stam (1999)

บทที่ VI · ขั้นที่ 10 · ปี 2000

ปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษ

ปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษทั้งเจ็ดข้อประกาศที่กรุงปารีสเมื่อวันที่ 24 พฤษภาคม 2000 ปัญหานาเวียร์–สโตกส์ตามคำอธิบายทางการที่เขียนโดยชาลส์ เฟฟเฟอร์แมน แก้ได้ด้วยการพิสูจน์ข้อความข้อใดข้อหนึ่งในสี่ข้อ ได้แก่ (A) มีคำตอบที่เรียบเสมอในปริภูมิสามมิติ (B) เช่นเดียวกันในกล่องแบบคาบ (C) มีการไหลเริ่มต้นที่เรียบและแรงภายนอกที่เรียบ ซึ่งทำให้คำตอบพัง หรือ (D) การพังแบบเดียวกันในกล่องแบบคาบ

สองมิติ

แก้ได้แล้ว

คำตอบเรียบไปตลอด (พิสูจน์ในทศวรรษ 1960)

สามมิติ

เปิดค้างตั้งแต่ปี 2000

สำหรับโจทย์รางวัล

เลอเร (1934)

การไหลที่เล็กพอจะเรียบตลอด

และมีคำตอบแบบ “อ่อน” (weak solution) เสมอ

เทา (2016)

สมการฉบับเฉลี่ยระเบิดได้

บอกใบ้เส้นทางที่อาจใช้กับสมการจริง

ปัญหาแห่งสหัสวรรษที่ได้รับการประกาศอย่างเป็นทางการว่าแก้ได้แล้วมีเพียงข้อเดียว คือข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร ซึ่งกริกอรี เปเรลมัน ปฏิเสธรับรางวัลในปี 2010

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): Clay Mathematics Institute: Navier–Stokes Equation; Wikipedia: Navier–Stokes existence and smoothness; Wikipedia: Millennium Prize Problems

บทที่ VI · ขั้นที่ 11 · ความเข้าใจเรื่องการระเบิด

การยืดของกระแสวน (vortex stretching)

การยืดของกระแสวนคือการที่กระแสวนถูกดึงให้ยาวขึ้นในการไหลสามมิติ ทำให้การหมุนในทิศที่ถูกยืดแรงขึ้น เพราะโมเมนตัมเชิงมุมต้องคงตัว ในของไหลที่อัดตัวไม่ได้ ท่อที่ถูกยืดจะผอมลงด้วย ปรากฏการณ์นี้เป็นตัวผลักให้พลังงานในความปั่นป่วนไหลลงสู่ขนาดเล็ก และไม่เกิดขึ้นในการไหลสองมิติ

ความหนืดจะต่อต้านด้วยการเกลี่ยการหมุนที่รุนแรงให้เรียบ คำถามที่ยังเปิดอยู่คือ สุดท้ายฝ่ายไหนชนะ การยืดจะเอาชนะความหนืดจนความเร็วเป็นอนันต์ในเวลาจำกัดได้หรือไม่

เป็นภาพประกอบเท่านั้น แอนิเมชันนี้แสดงแนวคิดของการยืด ไม่ใช่คำตอบเฉพาะที่มีการอ้างในปี 2026 ลองเลื่อนแถบบนภาพเพื่อยืดท่อด้วยตัวเอง แล้วดูอัตราการหมุนในกล่องข้อมูล

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): Wikipedia: Vortex stretching

บทที่ VI · ขั้นที่ 12 · กันยายน 2026

ข้ออ้างปี 2026 และสิ่งที่ยังเปิดอยู่

สถานะ ณ วันที่ 12 ตุลาคม 2026: เป็นข้ออ้างที่ยังไม่ได้รับการยืนยัน ยังไม่ผ่านการตรวจทานโดยผู้ทรงคุณวุฒิ สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ยังระบุสถานะโจทย์ว่า “Active” และยังไม่ได้มอบรางวัล กติกาของสถาบันกำหนดว่าคำตอบต้องตีพิมพ์ในแหล่งที่เข้าเกณฑ์ ผ่านไปแล้วอย่างน้อยสองปี และได้รับการยอมรับโดยทั่วไปจากนักคณิตศาสตร์ ก่อนที่สถาบันจะพิจารณา

สิ่งที่มีการอ้าง

วันที่ 8 กันยายน 2026 OpenAI ระบุว่าโมเดลภายในบริษัท ซึ่งทำงานเป็นเอเจนต์ราว 10,000 ตัวที่ประสานงานกันนาน 88 ชั่วโมง สร้างบทพิสูจน์ว่าของไหลที่เริ่มจากนิ่งและเรียบ เมื่อมีแรงภายนอกที่เรียบกระทำ สามารถเกิดภาวะเอกฐาน (singularity) ได้ในเวลาจำกัด โดยพลังงานยังจำกัด ซึ่งตรงกับข้อความ (C) ของโจทย์เคลย์ บริษัทบรรยายว่าเป็น “กระแสวน… ที่หมุนบิดเข้าด้านใน และยืดยาวขึ้นเรื่อย ๆ เหมือนเส้นสปาเกตตี” และเผยแพร่บทพิสูจน์ในรูปแบบ Lean ด้วย OpenAI ระบุว่าไม่มีเจตนาขอรับรางวัล

ปฏิกิริยาที่ได้รับ

• เคลย์ วันที่ 11 ก.ย. สถาบันแถลงว่าร่วมตื่นเต้น “ขณะที่เราพิจารณาประกาศว่าปัญหานาเวียร์–สโตกส์ดูเหมือนจะได้รับการแก้แล้ว” และกระบวนการของสถาบัน “ไม่เร่งรีบโดยเจตนา”
• การตรวจสอบ Lean ตรวจว่าทุกขั้นตอนสืบเนื่องกันถูกต้อง แต่การตรวจว่าข้อความทางการตรงกับโจทย์ของเคลย์หรือไม่ เป็นงานของมนุษย์ที่ยังดำเนินอยู่
• ขอบเขต งานฉบับร่างวันที่ 17 ก.ย. ของคอนสแตนติน อิกนาโตวา และวีคอล โต้แย้งว่าวิธีนี้ใช้ไม่ได้หากไม่มีแรงภายนอก ผู้เชี่ยวชาญบางคนจึงมองว่าโจทย์แบบไม่มีแรงภายนอก ซึ่งหลายคนถือว่าเป็นโจทย์หลัก ยังคงเปิดอยู่

ข้อโต้แย้งเรื่องเครดิต

ทริสตัน บักมาสเตอร์ (NYU) และเลเวนต์ อัลเปอเก (ทำงานที่ Anthropic) เผยแพร่ผลเรื่องการระเบิดที่เกี่ยวข้อง รวมถึงสมการออยเลอร์สามมิติที่มีแรงภายนอก ก่อนหน้านั้นหนึ่งวัน ทั้งสองทีมต่อยอดจากแนวทางที่ดิเอโก กอร์โดบา และลุยส์ มาร์ติเนซ-โซโรอา พัฒนาไว้ บักมาสเตอร์ซึ่งใช้โมเดล AI หลายตัว รวมถึง Codex ของ OpenAI ตั้งคำถามว่าระบบของ OpenAI เข้าถึงงานของพวกเขาหรือไม่ และเรื่องการหารือเผยแพร่ร่วมกัน โดยเขาระบุว่าไม่ได้กล่าวหาผู้ใด ฝั่ง OpenAI ยอมรับว่าทั้งสองทำผลเรื่องออยเลอร์แบบมีแรงภายนอกได้ก่อน ระบุว่าบทพิสูจน์ของตนต่างออกไป และหลังการสอบสวนระบุว่าข้อความที่เขาป้อนใน Codex ไม่อาจส่งผลต่อระบบของบริษัทได้ ข้อเท็จจริงจากทั้งสองฝ่ายยังไม่มีการพิสูจน์โดยบุคคลที่สาม

แอนิเมชันเป็นภาพประกอบ แสดงกระแสวนที่บิดแคบเข้าหาจุดหนึ่ง ไม่ใช่กราฟของคำตอบที่มีการอ้าง

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): OpenAI: On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem (8 Sep 2026, updated 10 Sep); Clay Mathematics Institute: Navier–Stokes Announcement (11 Sep 2026); Clay Mathematics Institute: Navier–Stokes Equation; Clay Mathematics Institute: Rules for the Millennium Prize Problems; Smithsonian Magazine (10 Sep 2026); NYU Shanghai RITS (9 Sep 2026); Quanta Magazine (8 Sep 2026); Science News (9 Sep 2026); Scientific American: “Did OpenAI solve the wrong Navier–Stokes problem?” (21 Sep 2026); Constantin, Ignatova & Vicol, arXiv:2609.20803 (17 Sep 2026)

บทส่งท้าย · 1757 → 2026

สองศตวรรษครึ่งของการไหล

• 1757 สมการของออยเลอร์สำหรับของไหลในอุดมคติที่ไร้แรงเสียดทาน
• 1822 นาเวียร์เพิ่มความหนืด
• 1845 บทความของสโตกส์เรื่องแรงเสียดทานภายในของไหล
• 1883 การทดลองสีย้อมของเรย์โนลด์ส: การไหลแบบราบเรียบและแบบปั่นป่วน
• 1911–12 ฟอน คาร์มาน อธิบายแถวกระแสวน
• 1922 ริชาร์ดสัน: การถ่ายทอดพลังงานแบบขั้นบันได และการพยากรณ์อากาศเชิงตัวเลข
• 1941 ทฤษฎีความปั่นป่วนของคอลโมโกรอฟ
• 1950 การพยากรณ์อากาศด้วยคอมพิวเตอร์ครั้งแรกบน ENIAC
• 2000 นาเวียร์–สโตกส์กลายเป็นปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษ
• 2026 OpenAI อ้างว่าพบคำตอบที่ระเบิดได้ การตรวจสอบและเรื่องเครดิตยังเป็นที่ถกเถียง

นักคณิตศาสตร์ เกรกอรี อายิงก์ ให้สัมภาษณ์กับ Science News ว่าการระเบิดของสมการแทบไม่มีผลในทางปฏิบัติ เพราะของไหลจริงประกอบด้วยโมเลกุล และรู้กันอยู่แล้วว่าสมการแบบต่อเนื่องใช้ไม่ได้ที่ขนาดเล็กมาก ความสำคัญจึงอยู่ที่ตัวคณิตศาสตร์ ภาพนิ่งเต็มจอทุกภาพสร้างด้วย AI เพื่อช่วยจินตนาการ ไม่ใช่ภาพถ่ายจริง ลูกโลกใช้ภาพ NASA Blue Marble และรูปแบบลมเป็นภาพประกอบ

ลองเล่น: ลากผ่านถังเพื่อกวน ปุ่มบนภาพใช้ล้างถังหรือเปลี่ยนความหนืด

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ)

Wikipedia: Navier–Stokes equations
Britannica: Navier–Stokes equation
Wikipedia: Euler equations (fluid dynamics)
Wikipedia: d’Alembert’s paradox
Wikipedia: Claude-Louis Navier
Wikipedia: George Gabriel Stokes
Wikipedia: Viscosity
Wikipedia: No-slip condition
Wikipedia: Reynolds number
Wikipedia: Osborne Reynolds
Wikipedia: Kármán vortex street
Wikipedia: Turbulence
Wikipedia: Energy cascade
Wikipedia: Kolmogorov microscales
Wikipedia: Lewis Fry Richardson
Wikipedia: Numerical weather prediction
Wikipedia: Computational fluid dynamics
Wikipedia: Direct numerical simulation
ACM SIGGRAPH History Archive: “Stable fluids”, Stam (1999)
Wikipedia: Vortex stretching
Clay Mathematics Institute: Navier–Stokes Equation
Clay Mathematics Institute: Navier–Stokes Announcement (11 Sep 2026)
Clay Mathematics Institute: Rules for the Millennium Prize Problems
Wikipedia: Millennium Prize Problems
Wikipedia: Navier–Stokes existence and smoothness
OpenAI: On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem (8 Sep 2026, updated 10 Sep)
Smithsonian Magazine (10 Sep 2026)
NYU Shanghai RITS (9 Sep 2026)
Quanta Magazine (8 Sep 2026)
Science News (9 Sep 2026)
Scientific American: “Did OpenAI solve the wrong Navier–Stokes problem?” (21 Sep 2026)
Constantin, Ignatova & Vicol, arXiv:2609.20803 (17 Sep 2026)