# สมการแห่งการไหล

> อากาศ น้ำ เลือด กระแสน้ำในมหาสมุทร และพายุ ล้วนเคลื่อนที่ตามกฎชุดเดียวกัน นี่คือเรื่องราวของสมการที่อธิบายทุกสิ่งที่ไหลได้ เหตุใดความปั่นป่วนยังเป็นโจทย์ที่ยากที่สุด และคำถามมูลค่าหนึ่งล้านดอลลาร์ว่าสมการนี้จะ “พัง” ได้หรือไม่ ซึ่งระบบ AI ระบบหนึ่งอ้างว่าตอบได้แล้วเมื่อเดือนกันยายน 2026

Interactive film: https://www.planetpast.com/stories/navier-stokes-equations/?lang=th  
Publisher: PlanetPast (https://www.planetpast.com/) · เผยแพร่ 2026-10-12 · Math, Physics

## บทนำ

### สมการแห่งการไหล
*กันยายน 2026 · ข้ออ้างเกี่ยวกับสมการอายุ 200 ปี*

สมการชุดเดียวอธิบายได้ทั้งลม มหาสมุทร เลือดในหลอดเลือด และอากาศที่ไหลผ่านปีกเครื่องบิน

ทุกสิ่งที่ไหลได้ ไม่ว่าจะเป็นลม ทะเล เลือดในเส้นเลือด หรืออากาศที่ไหลผ่านปีกเครื่องบิน ล้วนทำตามสมการชุดเดียวกัน สมการชุดนี้เรียกว่าสมการนาเวียร์–สโตกส์ มีอายุเกือบสองร้อยปีแล้ว แต่จนถึงวันนี้ นักคณิตศาสตร์ยังพิสูจน์ไม่ได้ว่าคำตอบของมันจะไม่มีวันพัง เดือนกันยายน 2026 บริษัท AI แห่งหนึ่งอ้างว่าตอบคำถามนี้ได้แล้ว ข้ออ้างนี้ยังอยู่ระหว่างการตรวจสอบ และนี่คือเรื่องราวของสมการที่อยู่เบื้องหลัง

บทนำ · ข่าวนี้สำคัญอย่างไร

#### สมการแห่งการไหล

สมการนาเวียร์–สโตกส์ (Navier–Stokes equations) อธิบายการเคลื่อนที่ของของไหล ทั้งของเหลวและแก๊สอย่างอากาศ วิศวกรใช้มันออกแบบเครื่องบินและรถยนต์ แพทย์ใช้ศึกษาการไหลของเลือด นักพยากรณ์อากาศใช้คาดการณ์ลมฟ้าอากาศ แต่ยังมีคำถามพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ข้อหนึ่งที่ไม่มีใครตอบได้ คือในสามมิติ คำตอบของสมการจะ “เรียบ” ตลอดไปหรือไม่ หรือมีโอกาส “ระเบิด” (blow-up) ได้ ในปี 2000 สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ (Clay Mathematics Institute) จึงยกให้เป็นหนึ่งในเจ็ดปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษ (Millennium Prize Problems) ข้อละหนึ่งล้านดอลลาร์สหรัฐ

**ในข่าว:** เมื่อวันที่ 8 กันยายน 2026 OpenAI ประกาศว่าระบบ AI ภายในบริษัทพบคำตอบที่ระเบิดได้ และเผยแพร่บทพิสูจน์ที่เขียนในโปรแกรมตรวจบทพิสูจน์ Lean แต่ยังไม่ผ่านการตรวจทานโดยผู้ทรงคุณวุฒิ (peer review) ยังไม่ได้รับการรับรองจากสถาบันเคลย์ และยังมีข้อโต้แย้งเรื่องว่าใครควรได้รับเครดิต บทที่ VI จะเล่าว่ามีการอ้างอะไร และอะไรยังเป็นคำถามเปิดอยู่

- **เขียนขึ้นครั้งแรก**: 1822–1845 โดยนาเวียร์และสโตกส์ ต่อยอดจากสมการของออยเลอร์ปี 1757

- **รางวัลแห่งสหัสวรรษ**: 1 ล้านดอลลาร์ สถาบันเคลย์ตั้งไว้ตั้งแต่ปี 2000

ลูกโลกแสดงรูปแบบลมเพื่อประกอบความเข้าใจ ได้แก่ ลมค้า ลมตะวันตก และพายุหมุน ไม่ใช่ข้อมูลสภาพอากาศจริง

วิธีใช้: เลือกบทใต้ภาพ หรือกด ← → เพื่อเปลี่ยนขั้น · ▶ เล่นขั้นนั้น · ลากเพื่อหมุน เลื่อนหรือถ่างนิ้วเพื่อซูม · ในบทที่ III และ V คุณใช้นิ้วหรือเมาส์กวนของไหลจำลองได้จริง · “เล่นทั้งเรื่อง” จะเล่นทุกขั้นแบบเต็มจอ

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): [Wikipedia: Navier–Stokes equations](https://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations); [Clay Mathematics Institute: Navier–Stokes Equation](https://www.claymath.org/millennium/navier-stokes-equation/); [OpenAI: On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem (8 Sep 2026, updated 10 Sep)](https://openai.com/index/navier-stokes-solution/); [Smithsonian Magazine (10 Sep 2026)](https://www.smithsonianmag.com/smart-news/ai-may-have-solved-a-longstanding-math-problem-with-a-million-dollar-prize-it-ignited-a-controversy-over-who-gets-credit-180989472/)

## บทที่ I · ของไหลในอุดมคติ

### กฎของนิวตันสำหรับหยดของไหล
*1757 · เบอร์ลิน*

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ นำกฎของนิวตันมาใช้กับของไหลทีละก้อนเล็ก ๆ

ปี 1757 นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ตีพิมพ์สมการของของไหลที่เคลื่อนที่ ในวารสารของราชบัณฑิตยสภาแห่งเบอร์ลิน แนวคิดของเขาคือ ให้ติดตามของไหลก้อนเล็ก ๆ ก้อนหนึ่ง แล้วใช้กฎข้อที่สองของนิวตันกับมัน แรงเท่ากับมวลคูณความเร่ง ก้อนของไหลของออยเลอร์รับแรงเพียงสองอย่าง คือแรงดันจากของไหลรอบข้าง และแรงภายนอกอย่างแรงโน้มถ่วง ดูมันเลี้ยวตามโค้ง โดยมีความดันด้านนอกโค้งที่สูงกว่าคอยดันไว้ แต่ของไหลของออยเลอร์ไม่มีแรงเสียดทานเลย ซึ่งกลายเป็นปัญหาใหญ่ในเวลาต่อมา

บทที่ I · ขั้นที่ 1 · ปี 1757

#### ของไหลในอุดมคติของออยเลอร์

สมการของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1757 ในบทความ “Principes généraux du mouvement des fluides” ในวารสาร *Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin* สมการนี้อธิบายของไหลที่ไม่มีแรงเสียดทานภายใน (inviscid fluid) ความเร่งของของไหลแต่ละก้อนถูกกำหนดโดยแรงดันจากก้อนข้างเคียง และแรงภายนอกอย่างแรงโน้มถ่วง

- มวล × ความเร่งของก้อนของไหล (ลูกศรสีเหลืองและสีส้ม)…

- …เท่ากับแรงที่เกิดจากความต่างของความดัน (ลูกศรสีแดง ชี้จากความดันสูงไปต่ำ)…

- …รวมกับแรงภายนอก เช่น แรงโน้มถ่วง (ลูกศรสีเขียว)

ในภาพ ก้อนของไหลไหลตามเส้นทางที่โค้ง การจะเลี้ยวได้ต้องมีแรงดันด้านข้าง ซึ่งมาจากความดันด้านนอกโค้งที่สูงกว่าด้านใน ความยาวลูกศรเป็นเพียงภาพประกอบ

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): [Wikipedia: Euler equations (fluid dynamics)](https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_equations_(fluid_dynamics))

### เติมแรงเสียดทานเข้าไป
*1822 และ 1845 · ปารีสและเคมบริดจ์*

ของไหลจริงมีความ “เหนียว” นาเวียร์และสโตกส์จึงเพิ่มความหนืดเข้าไปในสมการของออยเลอร์

ของไหลไร้แรงเสียดทานของออยเลอร์ให้คำตอบแปลก ๆ ปี 1752 ดาล็องแบร์แสดงว่า ในการไหลแบบอุดมคตินี้ วัตถุที่เคลื่อนผ่านของไหลด้วยความเร็วคงที่จะไม่มีแรงต้านเลย แต่ของไหลจริงมีความเหนียว ของไหลแต่ละชั้นจะฉุดชั้นข้างเคียงไว้ แรงเสียดทานภายในนี้เรียกว่าความหนืด ปี 1822 โกลด-หลุยส์ นาเวียร์ วิศวกรชาวฝรั่งเศส เพิ่มพจน์แรงเสียดทานเข้าไปในสมการของออยเลอร์ และในปี 1845 จอร์จ กาเบรียล สโตกส์ แห่งเคมบริดจ์ ก็วางรากฐานให้มั่นคงยิ่งขึ้น ในภาพนี้ แผ่นด้านบนลากของไหลไปด้วย แรงเสียดทานส่งต่อการเคลื่อนที่ลงไปทีละชั้น จนถึงผนังที่อยู่นิ่ง ซึ่งของไหลไม่ขยับเลย

บทที่ I · ขั้นที่ 2 · ปี 1822 และ 1845

#### ความหนืด: แรงเสียดทานภายในของไหล

หากไม่มีแรงเสียดทาน ทฤษฎีจะบอกว่าวัตถุที่เคลื่อนผ่านของไหลด้วยความเร็วคงที่ไม่มีแรงต้านเลย ซึ่งขัดกับประสบการณ์จริง (ปฏิทรรศน์ของดาล็องแบร์ ปี 1752) โกลด-หลุยส์ นาเวียร์เสนอบันทึกที่มีพจน์ความหนืดต่อราชบัณฑิตยสภาวิทยาศาสตร์ฝรั่งเศสในเดือนมีนาคม 1822 โดยซีเมอง เดอนี ปัวซอง ได้ผลแบบเดียวกันอย่างอิสระ ส่วนจอร์จ กาเบรียล สโตกส์ ตีพิมพ์งานเรื่อง “แรงเสียดทานภายในของของไหลที่เคลื่อนที่” ในปี 1845

- **นาเวียร์**: 1822 วิศวกรโยธาชาวฝรั่งเศส (1785–1836)

- **สโตกส์**: 1845 ต่อมาดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์ลูคัสแห่งเคมบริดจ์ (1819–1903)

- **น้ำที่ 20 °C**: ~1 mPa·s ความหนืดพลวัต (dynamic viscosity)

- **น้ำผึ้งที่ 20 °C**: ~2,000–10,000 mPa·s หนืดกว่าน้ำหลายพันเท่า

ภาพนี้คือแบบจำลองคลาสสิกของความหนืด: ของไหลอยู่ระหว่างแผ่นที่เลื่อนกับแผ่นที่อยู่นิ่ง ของไหลที่แตะแผ่นใดจะเคลื่อนไปพร้อมแผ่นนั้น (เงื่อนไขไม่ลื่นไถล หรือ no-slip condition) และแรงเสียดทานระหว่างชั้นทำให้ความเร็วเรียงตัวเป็นเส้นตรง ลองกดปุ่มบนภาพให้ของไหลใสขึ้นหรือหนืดขึ้น แล้วดูว่าการเคลื่อนที่ส่งลงไปเร็วแค่ไหน

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): [Wikipedia: d’Alembert’s paradox](https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_paradox); [Wikipedia: Navier–Stokes equations](https://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations); [Wikipedia: Claude-Louis Navier](https://en.wikipedia.org/wiki/Claude-Louis_Navier); [Wikipedia: George Gabriel Stokes](https://en.wikipedia.org/wiki/Sir_George_Stokes,_1st_Baronet); [Britannica: Navier–Stokes equation](https://www.britannica.com/science/Navier-Stokes-equation); [Wikipedia: Viscosity](https://en.wikipedia.org/wiki/Viscosity); [Wikipedia: No-slip condition](https://en.wikipedia.org/wiki/No-slip_condition)

## บทที่ II · ตัวสมการ

### หนึ่งบรรทัด ห้าแนวคิด
*สมการนาเวียร์–สโตกส์สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้*

นี่คือกฎข้อที่สองของนิวตัน ที่เขียนไว้สำหรับทุกจุดในของไหลพร้อมกัน

นี่คือสมการในรูปที่ใช้กันมากที่สุด สำหรับของไหลอย่างน้ำที่อัดให้เล็กลงไม่ได้ ซึ่งก็คือกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับของไหลหนึ่งก้อน ด้านซ้ายบอกว่าความเร็วของก้อนของไหลเปลี่ยนไปอย่างไร ทั้งตามเวลา และเพราะมันเคลื่อนไปยังจุดที่การไหลต่างออกไป ส่วนหลังนี้เรียกว่าพจน์การพา ซึ่งเป็นตัวที่ทำให้สมการยากมาก ด้านขวาคือแรงต่าง ๆ ความดันดันก้อนของไหลจากบริเวณความดันสูงไปยังความดันต่ำ ความหนืดคอยเกลี่ยความเร็วระหว่างก้อนของไหลกับก้อนข้างเคียงให้ใกล้กัน และยังมีแรงภายนอก เช่น แรงโน้มถ่วง มากระทำด้วย บรรทัดที่สองบอกว่าของไหลอัดตัวไม่ได้ ของไหลที่ไหลเข้าบริเวณใดต้องไหลออกเท่ากัน

บทที่ II · ขั้นที่ 3 · สมการบอกอะไร

#### กฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับของไหล

สมการนาเวียร์–สโตกส์สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ ซึ่งมีความหนาแน่นคงที่ ρ และความหนืดจลน์ ν โดยมีความเร็ว **u** ความดัน *p* และแรงภายนอกต่อหน่วยมวล **f**:

∂ u ∂ t +
( u · ∇ ) u
=
− 1 ρ ∇ p +
ν ∇ 2 u +
f
∇ · u = 0

- **∂u/∂t**อัตราที่ความเร็วเปลี่ยนไปตามเวลา ณ จุดหนึ่งที่อยู่กับที่

- **(u·∇)u**การพา (advection) หรือความเฉื่อย: ก้อนของไหลพาความเร็วของตัวเองไปยังบริเวณที่การไหลต่างออกไป พจน์นี้เอาความเร็วคูณกับความเร็ว จึงเป็นพจน์*ไม่เชิงเส้น* และเป็นต้นเหตุของทั้งความปั่นป่วนและความยากทางคณิตศาสตร์

- **−(1/ρ)∇p**ความดันดันจากบริเวณความดันสูงไปยังความดันต่ำ

- **ν∇²u**ความหนืดทำให้โมเมนตัมแผ่กระจายออก คล้ายความร้อนที่แผ่ออก จึงเกลี่ยความต่างของความเร็วระหว่างก้อนข้างเคียง ถ้าตัดพจน์นี้ทิ้ง (ν = 0) ก็จะได้สมการของออยเลอร์

- **f**แรงภายนอกที่กระทำต่อของไหล เช่น แรงโน้มถ่วง

- **∇·u = 0**การอัดตัวไม่ได้: ไม่มีของไหลเกิดขึ้นหรือหายไป และของไหลแต่ละก้อนคงปริมาตรเดิม

ดูลูกศรบนก้อนของไหลในภาพ แต่ละสีตรงกับพจน์หนึ่งในสมการ สมการรูปแบบอัดตัวไม่ได้นี้ใช้ได้ดีกับของเหลว และกับอากาศที่เคลื่อนที่ช้ากว่าเสียงมาก (ไม่เกินราว 0.3 มัค)

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): [Wikipedia: Navier–Stokes equations](https://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations); [Wikipedia: Reynolds number](https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number)

## บทที่ III · ราบเรียบหรือปั่นป่วน

### เส้นด้ายสีย้อม
*1883 · วิทยาลัยโอเวนส์ แมนเชสเตอร์*

ออสบอร์น เรย์โนลด์ส เฝ้าดูสายน้ำสีในท่อแก้ว แล้วเขาก็เปิดก๊อกให้แรงขึ้น

ปี 1883 ออสบอร์น เรย์โนลด์ส ศาสตราจารย์วิศวกรรมแห่งแมนเชสเตอร์ ปล่อยน้ำไหลผ่านท่อแก้วยาว แล้วหยดสายสีย้อมเส้นเล็ก ๆ เข้าไปตรงกลางท่อ เมื่อน้ำไหลช้า สีย้อมจะเป็นเส้นตรงเรียบร้อย นี่คือการไหลแบบราบเรียบ (laminar flow) ที่ของไหลเลื่อนผ่านกันเป็นชั้น ๆ เมื่อเขาเปิดก๊อกให้แรงขึ้น เส้นสีก็แตกออกทันที แล้วหมุนวนกระจายไปทั่วท่อ นี่คือการไหลแบบปั่นป่วน (turbulent flow) ลองเองได้เลย เลื่อนแถบบนภาพเพื่อเพิ่มเลขเรย์โนลด์ส หรือใช้นิ้วหรือเมาส์กวนน้ำดู

บทที่ III · ขั้นที่ 4 · ปี 1883

#### การทดลองของเรย์โนลด์ส

เรย์โนลด์สปล่อยน้ำสีสายเล็ก ๆ เข้าไปตรงกลางน้ำใสที่ไหลในท่อแก้ว โดยมีวาล์วที่ปลายท่อไว้ปรับความเร็ว เมื่อน้ำไหลช้า สายสีคงรูปตลอดความยาวท่อ เมื่อเร็วขึ้น สายสีแตกออกที่จุดหนึ่งแล้วแผ่ไปทั่วหน้าตัดท่อ ผลการทดลองตีพิมพ์ในปี 1883

#### เลขเรย์โนลด์ส

การไหลจะราบเรียบหรือปั่นป่วนขึ้นกับค่าผสมเพียงค่าเดียว ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าเลขเรย์โนลด์ส (Reynolds number): **Re = uL/ν** คือความเร็ว *u* คูณขนาด *L* หารด้วยความหนืดจลน์ *ν* ค่านี้เปรียบเทียบพจน์การพา (ความเฉื่อย) กับพจน์ความหนืดในสมการ

- **การไหลในท่อแบบราบเรียบ**: Re สำหรับการไหลที่คงตัวแล้วในท่อกลม

- **การไหลในท่อแบบปั่นป่วน**: Re > ~2,900 ช่วงระหว่างนั้นจะปั่นป่วนเป็นพัก ๆ

ภาพนี้เป็นแบบจำลองสองมิติที่แก้สมการบนตารางกริดสด ๆ ขณะที่คุณดู เปรียบเหมือนภาพตัดผ่านท่อ ท่อจริงเป็นสามมิติและเปลี่ยนเป็นปั่นป่วนที่ค่า Re สูงกว่าที่แบบจำลองหยาบ ๆ นี้แสดงได้ตรง ๆ ค่าบนแถบเลื่อนจึงเป็นค่าอ้างอิงของจริง และแบบจำลองใส่การรบกวนเล็ก ๆ ที่ทางเข้าแทนการรบกวนในโลกจริง

ลองเล่น: เลื่อนแถบ หรือลากผ่านน้ำเพื่อกวน

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): [Wikipedia: Osborne Reynolds](https://en.wikipedia.org/wiki/Osborne_Reynolds); [Wikipedia: Reynolds number](https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number)

### แถวกระแสวน
*1911–1912 · เกิททิงเงิน*

หลังเสากลางแม่น้ำ หรือหลังเกาะกลางกระแสลม กระแสวนจะหลุดออกมาเรียงเป็นแนวซิกแซก

วางสิ่งกีดขวางไว้ในกระแสที่ไหลสม่ำเสมอ ถ้าเลขเรย์โนลด์สต่ำมาก ของไหลจะปิดเข้าหากันด้านหลังอย่างนุ่มนวล เพิ่มให้เกินราวห้าสิบ แนวน้ำด้านหลังจะเริ่มส่าย กระแสวนหลุดออกจากด้านหนึ่ง แล้วอีกด้านหนึ่ง สลับกันเป็นจังหวะ ทีโอดอร์ ฟอน คาร์มาน อธิบายรูปแบบนี้ในปี 1911 และ 1912 จึงเรียกกันว่าแถวกระแสวนคาร์มาน (Kármán vortex street) เราเห็นมันได้ในเมฆที่อยู่ใต้ลมของเกาะ และได้ยินมันได้ด้วย เพราะมันทำให้สายไฟร้องเมื่อมีลมพัด ถ้าเพิ่มเลขเรย์โนลด์สอีก แนวน้ำด้านหลังจะกลายเป็นความปั่นป่วน

บทที่ III · ขั้นที่ 5 · ปี 1911–1912

#### การหลุดของกระแสวนและแถวกระแสวนคาร์มาน

ของไหลที่ไหลผ่านวัตถุทู่จะแยกตัวออกจากผิววัตถุ และในช่วงเลขเรย์โนลด์สช่วงหนึ่ง จะปล่อยกระแสวนสลับกันทีละด้าน สำหรับทรงกระบอกกลม การหลุดของกระแสวนเริ่มที่ราว Re ≈ 47 ทีโอดอร์ ฟอน คาร์มาน วิเคราะห์รูปแบบนี้ในบทความปี 1911 และ 1912 โดยเขายอมรับว่าอาร์นุลฟ์ มัลล็อก และอองรี เบนาร์ ได้สังเกตไว้ก่อนแล้ว

- **จุดเริ่ม (ทรงกระบอก)**: Re ≈ 47 คิด Re จากเส้นผ่านศูนย์กลางทรงกระบอก

- **ในเมฆ**: > 400 กม. แถวกระแสวนหลังเกาะยาวได้ขนาดนี้ เห็นได้จากดาวเทียม

- **ทำไมจึงสำคัญ**: กระแสวนที่หลุดสลับกันจะผลักวัตถุไปมาทางด้านข้าง ถ้าจังหวะตรงกับความถี่ธรรมชาติของโครงสร้าง อาจสั่นแรงมาก เช่น สายไฟที่ส่งเสียงร้อง เสาอากาศรถยนต์ หรือปล่องไฟสูง

แบบจำลองสองมิติแบบสด จุดวัดด้านหลังทรงกระบอกวัดการไหลในแนวขวาง และกล่องข้อมูลนับจำนวนกระแสวนที่หลุดออก สีส้มหลุดจากด้านบนของทรงกระบอก สีฟ้าหลุดจากด้านล่าง ความคลาดเคลื่อนเชิงตัวเลขของแบบจำลองทำตัวเหมือนความหนืดเพิ่มขึ้นเล็กน้อย ค่า Re ในแบบจำลองจึงเป็นค่าโดยประมาณ

ลองเล่น: เลือกเลขเรย์โนลด์สในกล่องบนภาพ หรือลากผ่านน้ำเพื่อกวน

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): [Wikipedia: Kármán vortex street](https://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1rm%C3%A1n_vortex_street); [Wikipedia: Reynolds number](https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number)

### ตัวเลขตัวเดียวจัดกลุ่มการไหลได้ทุกแบบ
*จากแบคทีเรียถึงพายุเฮอริเคน*

สมการชุดเดียวกันใช้ได้ทุกขนาด สิ่งที่เปลี่ยนไปมีเพียงเลขเรย์โนลด์ส

เลขเรย์โนลด์สอธิบายว่าทำไมแบคทีเรียกับวาฬสีน้ำเงินจึงอยู่ในโลกของของไหลที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง สำหรับแบคทีเรียที่ว่ายน้ำ ค่านี้อยู่ราวหนึ่งในหมื่น ความหนืดครองทุกอย่าง น้ำสำหรับมันข้นเหมือนน้ำผึ้ง และทันทีที่หยุดว่าย มันก็หยุดนิ่งทันที สำหรับคนว่ายน้ำ ค่านี้อยู่ในระดับล้าน เรือขนาดใหญ่ระดับพันล้าน พายุหมุนเขตร้อนราวล้านล้าน ความเฉื่อยครองทุกอย่าง และการไหลเป็นแบบปั่นป่วน จอร์จ สโตกส์ เป็นผู้ริเริ่มแนวคิดนี้ในปี 1851 และอาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ ตั้งชื่อตามเรย์โนลด์สในปี 1908

บทที่ III · ขั้นที่ 6 · มาตรวัดสำหรับการไหลทุกแบบ

#### เลขเรย์โนลด์ส จากแบคทีเรียถึงพายุหมุน

Re คืออัตราส่วนของแรงเฉื่อยต่อแรงหนืด เมื่อค่าน้อย ความหนืดจะเกลี่ยทุกอย่างให้เรียบ การไหลจึงราบเรียบ เมื่อค่ามาก ความเฉื่อยชนะ การไหลมักกลายเป็นแบบปั่นป่วน แนวคิดนี้ริเริ่มโดยจอร์จ สโตกส์ในปี 1851 และอาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ ตั้งชื่อตามออสบอร์น เรย์โนลด์ส ในปี 1908

#### ค่าโดยประมาณ

- ~10⁻⁴ แบคทีเรีย

- ~1 ปลาที่เล็กที่สุด

- ~10³ เลือดในหลอดเลือดแดงใหญ่ (เอออร์ตา)

- ~2×10⁵ ลูกเบสบอลที่ถูกขว้าง

- ~4×10⁶ คนว่ายน้ำ

- ~4×10⁸ วาฬสีน้ำเงิน

- ~5×10⁹ เรือขนาดใหญ่

- ~10¹² พายุหมุนเขตร้อน

แกนเป็นสเกลลอการิทึม แต่ละขีดมากกว่าขีดก่อนหน้าสิบเท่า จุดสีฟ้าคือการไหลแบบหนืดและราบเรียบ จุดสีส้มคือการไหลแบบปั่นป่วน

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): [Wikipedia: Reynolds number](https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number)

## บทที่ IV · วนซ้อนวน

### วนใหญ่มีวนเล็ก
*1922 และ 1941*

ในความปั่นป่วน พลังงานไหลจากกระแสวนใหญ่ลงสู่กระแสวนที่เล็กลงเรื่อย ๆ จนแรงเสียดทานเปลี่ยนมันเป็นความร้อน

ความปั่นป่วนคือกระแสวนทุกขนาดที่พันกันยุ่งเหยิง ในปี 1922 ลูอิส ฟราย ริชาร์ดสัน นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ สรุปไว้เป็นกลอนสั้น ๆ วนใหญ่มีวนเล็ก ที่กินความเร็วของมันเป็นอาหาร และวนเล็กก็มีวนที่เล็กกว่า ต่อลงไปเรื่อย ๆ จนถึงความหนืด พลังงานเข้ามาที่กระแสวนขนาดใหญ่ที่สุด ส่งต่อลงไปยังกระแสวนที่เล็กลงเรื่อย ๆ และที่ขนาดเล็กที่สุดเท่านั้น ความหนืดจึงเปลี่ยนมันเป็นความร้อน ปี 1941 นักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียต อันเดรย์ คอลโมโกรอฟ เปลี่ยนภาพนี้ให้เป็นทฤษฎี ทำนายว่าพลังงานกระจายไปยังกระแสวนขนาดต่าง ๆ อย่างไร

บทที่ IV · ขั้นที่ 7 · ปี 1922 และ 1941

#### การถ่ายทอดพลังงานแบบขั้นบันได (energy cascade)

ลูอิส ฟราย ริชาร์ดสัน มองความปั่นป่วนว่าประกอบด้วยกระแสวนหลายขนาด กระแสวนใหญ่แตกตัวเป็นกระแสวนที่เล็กลง กลอนของเขาจากหนังสือ *Weather Prediction by Numerical Process* (1922) เขียนว่า “Big whirls have little whirls that feed on their velocity, and little whirls have lesser whirls and so on to viscosity.” แปลความได้ว่า วนใหญ่มีวนเล็กที่กินความเร็วของมัน และวนเล็กก็มีวนที่เล็กกว่า ต่อไปเรื่อย ๆ จนถึงความหนืด

ปี 1941 อันเดรย์ คอลโมโกรอฟ เสนอว่าเมื่อเลขเรย์โนลด์สสูงมาก กระแสวนขนาดเล็กจะมีลักษณะทางสถิติเหมือนกันทุกทิศทาง และขึ้นกับเพียงอัตราการสลายพลังงานกับความหนืด ผลที่ตามมาคือพลังงานกระจายตามขนาดของกระแสวนตาม**กฎกำลัง −5/3** (อะเล็กซานเดอร์ โอบูคอฟ เสนอผลเดียวกันอย่างอิสระในปีเดียวกัน) ซึ่งการทดลองโดยรวมยืนยันว่าเป็นจริง

- **สเปกตรัม**: E(k) ∝ k −5/3 k คือเลขคลื่น = 1 ÷ ขนาดกระแสวน

- **กระแสวนที่เล็กที่สุด**: η = (ν³/ε) ¼ สเกลคอลโมโกรอฟ เช่น ราวหนึ่งมิลลิเมตรในลมที่พัดรอบตึกสูง

ในภาพ สีต่าง ๆ แทนกระแสวนแต่ละรุ่น ตามการคำนวณของคอลโมโกรอฟ กระแสวนที่เล็กกว่าจะหมุนครบรอบเร็วกว่า จุดสีแดงเรือง ๆ ตอนท้ายแทนพลังงานที่กลายเป็นความร้อน ริชาร์ด ไฟน์แมน เคยกล่าวว่าความปั่นป่วนคือปัญหาที่สำคัญที่สุดที่ยังไม่มีคำตอบในฟิสิกส์ดั้งเดิม

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): [Wikipedia: Lewis Fry Richardson](https://en.wikipedia.org/wiki/Lewis_Fry_Richardson); [Wikipedia: Energy cascade](https://en.wikipedia.org/wiki/Energy_cascade); [Wikipedia: Kolmogorov microscales](https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_microscales); [Wikipedia: Turbulence](https://en.wikipedia.org/wiki/Turbulence)

## บทที่ V · แก้ด้วยคอมพิวเตอร์

### โรงงานพยากรณ์อากาศ
*1922 · Weather Prediction by Numerical Process*

ริชาร์ดสันจินตนาการถึงห้องโถงที่เต็มไปด้วย “มนุษย์คอมพิวเตอร์” แต่ละคนคำนวณลมฟ้าอากาศของพื้นที่เล็ก ๆ บนโลก

ริชาร์ดสันยังอยากพยากรณ์อากาศด้วยการแก้สมการการเคลื่อนที่ของของไหล เขาแบ่งบรรยากาศออกเป็นตารางกล่อง เขาคำนวณด้วยมือนานอย่างน้อยหกสัปดาห์ เพื่อพยากรณ์ล่วงหน้าหกชั่วโมงสำหรับสองจุดเหนือยุโรปกลาง ผลที่ได้ผิดไปมาก แต่วิธีคิดถูกต้อง เขาฝันถึงห้องโถงใหญ่ที่ผู้คนจำนวนมากช่วยกันคำนวณสภาพอากาศพร้อมกัน เหมือนวงออร์เคสตรา ปี 1950 คอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ ENIAC ทำการพยากรณ์อากาศด้วยคอมพิวเตอร์เป็นครั้งแรก ทุกวันนี้การพยากรณ์ยังคงแก้สมการของไหลบนตารางกริด แต่กล่องเล็กลงเหลือไม่กี่กิโลเมตร

บทที่ V · ขั้นที่ 8 · ปี 1922 ถึงปัจจุบัน

#### การพยากรณ์อากาศ

การพยากรณ์อากาศมองบรรยากาศเป็นของไหล: วัดสภาพปัจจุบัน แล้วใช้สมการพลศาสตร์ของไหลและอุณหพลศาสตร์คำนวณไปข้างหน้าทีละช่วงเวลา ลูอิส ฟราย ริชาร์ดสัน ใช้เวลาอย่างน้อยหกสัปดาห์คำนวณด้วยมือ เพื่อพยากรณ์ล่วงหน้าหกชั่วโมงสำหรับสองจุดในยุโรปกลาง ในหนังสือ *Weather Prediction by Numerical Process* (1922) เขาจินตนาการถึง “โรงงานพยากรณ์อากาศ” ที่เต็มไปด้วยมนุษย์คอมพิวเตอร์

- **พยากรณ์ด้วยคอมพิวเตอร์ครั้งแรก**: 1950 เครื่อง ENIAC ใช้แบบจำลองที่ลดรูปอย่างมาก

- **ขนาดกล่องกริดปัจจุบัน**: ~5–300 กม. ต่อด้าน แล้วแต่แบบจำลอง

- **สมการที่ใช้**: “สมการปฐมฐาน” (primitive equations) สมการของไหลที่ปรับให้เหมาะกับชั้นอากาศบาง ๆ บนดาวเคราะห์ที่หมุนรอบตัวเอง ใช้ร่วมกับกฎแก๊สอุดมคติ

ตารางสีทองบนลูกโลกแทนกล่องที่แบบจำลองใช้คำนวณ แบบจำลองจริงละเอียดกว่ามาก จุดสว่างสองจุดคือบริเวณที่ริชาร์ดสันคำนวณการพยากรณ์ของเขาโดยประมาณ ภาพนิ่งเต็มจอเป็นภาพจินตนาการของโรงงานพยากรณ์อากาศที่สร้างด้วย AI

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): [Wikipedia: Numerical weather prediction](https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_weather_prediction); [Wikipedia: Lewis Fry Richardson](https://en.wikipedia.org/wiki/Lewis_Fry_Richardson)

### หั่นของไหลเป็นกล่องเล็ก ๆ
*พลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ*

คอมพิวเตอร์แก้สมการแบบแม่นตรงไม่ได้ จึงแบ่งพื้นที่เป็นช่องเล็ก ๆ แล้วคำนวณไปข้างหน้าทีละก้าว

การไหลจริงส่วนใหญ่ไม่มีใครเขียนสูตรคำตอบที่แม่นตรงได้ คอมพิวเตอร์จึงแก้สมการแบบประมาณแทน พื้นที่ถูกแบ่งเป็นตารางช่องเล็ก ๆ ในแต่ละก้าวเวลาสั้น ๆ คอมพิวเตอร์จะพาการไหลเคลื่อนไป เติมผลของความหนืด แล้วปรับความดันให้ไม่มีของไหลเกิดขึ้นหรือหายไป แบบจำลองนี้ใช้วิธีที่โจส สแตม ตีพิมพ์ในปี 1999 ชื่อ Stable Fluids ซึ่งนิยมใช้ในภาพยนตร์และเกม เพราะไม่มีวันคำนวณจนระเบิด ปัญหาคือ ความปั่นป่วนมีกระแสวนเล็กลงไปถึงขนาดจิ๋วมาก การจับกระแสวนให้ครบทุกขนาดต้องใช้จุดกริดจำนวนที่เพิ่มเร็วกว่ากำลังสองของเลขเรย์โนลด์ส

บทที่ V · ขั้นที่ 9 · คอมพิวเตอร์แก้สมการอย่างไร

#### พลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ (CFD)

พลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ (computational fluid dynamics หรือ CFD) แก้สมการนาเวียร์–สโตกส์ด้วยวิธีเชิงตัวเลข ใช้ออกแบบเครื่องบินและรถยนต์ จำลองสภาพอากาศ งานวิศวกรรมชีวการแพทย์ และเทคนิคพิเศษในภาพยนตร์ แบบจำลองสดในเรื่องนี้ใช้วิธี “Stable Fluids” ของโจส สแตม (SIGGRAPH 1999) บนกริดสองมิติแบบหยาบ คำนวณในเบราว์เซอร์ของคุณเอง

- **พา (advect):** พาความเร็วและสีย้อมไปตามการไหล (พจน์ (u·∇)u)

- **แพร่ (diffuse):** ผสมแต่ละช่องกับช่องข้างเคียง (พจน์ ν∇²u)

- **ฉาย (project):** แก้หาความดันที่ขจัดการอัดตัว ให้ได้ ∇·u = 0 (พจน์ ∇p)

- **ต้นทุนของการจับกระแสวนทุกขนาด**: N³ ≥ Re 9/4 จำนวนจุดกริดที่ต้องใช้ในการจำลองสามมิติแบบเต็ม (DNS) งาน CFD ทางวิศวกรรมส่วนใหญ่จึงใช้แบบจำลองความปั่นป่วน เช่น RANS หรือ LES แทน

เส้นจาง ๆ บนถังคือช่องกริดจริงที่แบบจำลองนี้คำนวณ ลากผ่านน้ำเพื่อกวนได้

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): [Wikipedia: Computational fluid dynamics](https://en.wikipedia.org/wiki/Computational_fluid_dynamics); [Wikipedia: Direct numerical simulation](https://en.wikipedia.org/wiki/Direct_numerical_simulation); [ACM SIGGRAPH History Archive: “Stable fluids”, Stam (1999)](https://history.siggraph.org/?p=116411)

## บทที่ VI · คำถามหนึ่งล้านดอลลาร์

### คำถามหนึ่งล้านดอลลาร์
*24 พฤษภาคม 2000 · คอลแลฌเดอฟร็องส์ ปารีส*

การไหลที่เริ่มต้นอย่างเรียบ จะเรียบไปตลอดหรือไม่ หรือสมการจะพังได้

พฤษภาคม 2000 สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ประกาศปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษเจ็ดข้อ ข้อละหนึ่งล้านดอลลาร์ หนึ่งในนั้นคือเรื่องสมการนาเวียร์–สโตกส์ เริ่มจากการไหลที่เรียบและนุ่มนวลในปริภูมิสามมิติ ซึ่งมีพลังงานจำกัด คำตอบจะเรียบไปตลอดหรือไม่ หรือความเร็วที่จุดใดจุดหนึ่งจะพุ่งเป็นอนันต์ในเวลาจำกัด ซึ่งเรียกว่าการระเบิด (blow-up) ในสองมิติ มีการพิสูจน์ตั้งแต่ทศวรรษ 1960 ว่าคำตอบเรียบไปตลอด แต่ในสามมิติ ไม่มีใครรู้ เหตุผลคือปรากฏการณ์ที่เกิดได้เฉพาะในสามมิติ นั่นคือการยืดของกระแสวน

บทที่ VI · ขั้นที่ 10 · ปี 2000

#### ปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษ

ปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษทั้งเจ็ดข้อประกาศที่กรุงปารีสเมื่อวันที่ 24 พฤษภาคม 2000 ปัญหานาเวียร์–สโตกส์ตามคำอธิบายทางการที่เขียนโดยชาลส์ เฟฟเฟอร์แมน แก้ได้ด้วยการพิสูจน์ข้อความข้อใดข้อหนึ่งในสี่ข้อ ได้แก่ (A) มีคำตอบที่เรียบเสมอในปริภูมิสามมิติ (B) เช่นเดียวกันในกล่องแบบคาบ (C) มีการไหลเริ่มต้นที่เรียบและแรงภายนอกที่เรียบ ซึ่งทำให้คำตอบพัง หรือ (D) การพังแบบเดียวกันในกล่องแบบคาบ

- **สองมิติ**: แก้ได้แล้ว คำตอบเรียบไปตลอด (พิสูจน์ในทศวรรษ 1960)

- **สามมิติ**: เปิดค้างตั้งแต่ปี 2000 สำหรับโจทย์รางวัล

- **เลอเร (1934)**: การไหลที่เล็กพอจะเรียบตลอด และมีคำตอบแบบ “อ่อน” (weak solution) เสมอ

- **เทา (2016)**: สมการฉบับเฉลี่ยระเบิดได้ บอกใบ้เส้นทางที่อาจใช้กับสมการจริง

ปัญหาแห่งสหัสวรรษที่ได้รับการประกาศอย่างเป็นทางการว่าแก้ได้แล้วมีเพียงข้อเดียว คือข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร ซึ่งกริกอรี เปเรลมัน ปฏิเสธรับรางวัลในปี 2010

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): [Clay Mathematics Institute: Navier–Stokes Equation](https://www.claymath.org/millennium/navier-stokes-equation/); [Wikipedia: Navier–Stokes existence and smoothness](https://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_existence_and_smoothness); [Wikipedia: Millennium Prize Problems](https://en.wikipedia.org/wiki/Millennium_Prize_Problems)

### ท่อหมุนที่ถูกดึงยืด
*ทำไมสามมิติจึงยาก*

ยืดกระแสวนแล้วมันจะหมุนเร็วขึ้น เหมือนนักสเก็ตน้ำแข็งที่หุบแขนเข้า

กระแสวนคือท่อของของไหลที่หมุนอยู่ ในสามมิติ การไหลรอบ ๆ สามารถดึงปลายทั้งสองของมันให้ห่างออกจากกัน เพราะของไหลอัดตัวไม่ได้ เมื่อท่อยาวขึ้นก็ต้องผอมลง และเมื่อผอมลงก็หมุนเร็วขึ้น เหมือนนักสเก็ตที่หมุนเร็วขึ้นเมื่อหุบแขนเข้าหาตัว การหมุนที่เร็วขึ้นอาจยืดท่อให้ยาวขึ้นอีก ทำให้หมุนเร็วขึ้นไปอีก วงจรนี้จะป้อนตัวเองไปจนความเร็วเป็นอนันต์ได้หรือไม่ นี่คือคำถามเรื่องการระเบิด ในสองมิติไม่มีทิศทางให้ยืด สิ่งนี้จึงเกิดขึ้นไม่ได้ และนั่นคือเหตุผลที่โจทย์สองมิติถูกแก้ไปนานแล้ว

บทที่ VI · ขั้นที่ 11 · ความเข้าใจเรื่องการระเบิด

#### การยืดของกระแสวน (vortex stretching)

การยืดของกระแสวนคือการที่กระแสวนถูกดึงให้ยาวขึ้นในการไหลสามมิติ ทำให้การหมุนในทิศที่ถูกยืดแรงขึ้น เพราะโมเมนตัมเชิงมุมต้องคงตัว ในของไหลที่อัดตัวไม่ได้ ท่อที่ถูกยืดจะผอมลงด้วย ปรากฏการณ์นี้เป็นตัวผลักให้พลังงานในความปั่นป่วนไหลลงสู่ขนาดเล็ก และไม่เกิดขึ้นในการไหลสองมิติ

ความหนืดจะต่อต้านด้วยการเกลี่ยการหมุนที่รุนแรงให้เรียบ คำถามที่ยังเปิดอยู่คือ สุดท้ายฝ่ายไหนชนะ การยืดจะเอาชนะความหนืดจนความเร็วเป็นอนันต์ในเวลาจำกัดได้หรือไม่

**เป็นภาพประกอบเท่านั้น** แอนิเมชันนี้แสดงแนวคิดของการยืด ไม่ใช่คำตอบเฉพาะที่มีการอ้างในปี 2026 ลองเลื่อนแถบบนภาพเพื่อยืดท่อด้วยตัวเอง แล้วดูอัตราการหมุนในกล่องข้อมูล

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): [Wikipedia: Vortex stretching](https://en.wikipedia.org/wiki/Vortex_stretching)

### ประกาศว่าพบการระเบิด
*8 กันยายน 2026 · ข้ออ้างที่ยังไม่ผ่านการพิสูจน์*

บริษัท AI แห่งหนึ่งระบุว่าพบการไหลที่ทำให้สมการพัง ขณะที่นักคณิตศาสตร์ยังตรวจสอบอยู่

วันที่ 8 กันยายน 2026 OpenAI ประกาศว่าระบบ AI ภายในบริษัท ซึ่งใช้เอเจนต์ราวหนึ่งหมื่นตัวทำงานแปดสิบแปดชั่วโมง พบคำตอบที่ระเบิดได้ บริษัทบรรยายว่าเป็นกระแสวนที่หมุนบิดเข้าหาศูนย์กลางและยืดยาวขึ้นเรื่อย ๆ เหมือนเส้นสปาเกตตี จนความเร็วเป็นอนันต์ในเวลาจำกัด ขณะที่พลังงานยังจำกัดอยู่ โดยใช้แรงภายนอกที่เรียบช่วย บทพิสูจน์ผ่านการตรวจด้วยโปรแกรม Lean ซึ่งยืนยันว่าตรรกะถูกต้อง แต่ผู้เชี่ยวชาญยังต้องตรวจว่าข้อความที่เขียนใน Lean ตรงกับโจทย์ของสถาบันเคลย์จริงหรือไม่ บทพิสูจน์ยังไม่ผ่านการตรวจทานโดยผู้ทรงคุณวุฒิ และ OpenAI ระบุว่าจะไม่ขอรับรางวัล เรื่องเครดิตยังเป็นข้อโต้แย้ง ทริสตัน บักมาสเตอร์ และเลเวนต์ อัลเปอเก ประกาศผลที่เกี่ยวข้องใกล้เคียงกันก่อนหน้าหนึ่งวัน โดยต่อยอดจากวิธีของดิเอโก กอร์โดบา และลุยส์ มาร์ติเนซ-โซโรอา ส่วน OpenAI ยืนยันว่างานของตนทำขึ้นอย่างอิสระ นักคณิตศาสตร์บางคนยังชี้ว่า โจทย์แบบที่ไม่มีแรงภายนอก ซึ่งหลายคนมองว่าเป็นหัวใจของปัญหา ยังคงเปิดอยู่

บทที่ VI · ขั้นที่ 12 · กันยายน 2026

#### ข้ออ้างปี 2026 และสิ่งที่ยังเปิดอยู่

**สถานะ ณ วันที่ 12 ตุลาคม 2026:** เป็นข้ออ้างที่ยังไม่ได้รับการยืนยัน ยังไม่ผ่านการตรวจทานโดยผู้ทรงคุณวุฒิ สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ยังระบุสถานะโจทย์ว่า “Active” และยังไม่ได้มอบรางวัล กติกาของสถาบันกำหนดว่าคำตอบต้องตีพิมพ์ในแหล่งที่เข้าเกณฑ์ ผ่านไปแล้วอย่างน้อยสองปี และได้รับการยอมรับโดยทั่วไปจากนักคณิตศาสตร์ ก่อนที่สถาบันจะพิจารณา

#### สิ่งที่มีการอ้าง

วันที่ 8 กันยายน 2026 OpenAI ระบุว่าโมเดลภายในบริษัท ซึ่งทำงานเป็นเอเจนต์ราว 10,000 ตัวที่ประสานงานกันนาน 88 ชั่วโมง สร้างบทพิสูจน์ว่าของไหลที่เริ่มจากนิ่งและเรียบ เมื่อมีแรงภายนอกที่เรียบกระทำ สามารถเกิดภาวะเอกฐาน (singularity) ได้ในเวลาจำกัด โดยพลังงานยังจำกัด ซึ่งตรงกับข้อความ (C) ของโจทย์เคลย์ บริษัทบรรยายว่าเป็น “กระแสวน… ที่หมุนบิดเข้าด้านใน และยืดยาวขึ้นเรื่อย ๆ เหมือนเส้นสปาเกตตี” และเผยแพร่บทพิสูจน์ในรูปแบบ Lean ด้วย OpenAI ระบุว่าไม่มีเจตนาขอรับรางวัล

#### ปฏิกิริยาที่ได้รับ

- เคลย์ วันที่ 11 ก.ย. สถาบันแถลงว่าร่วมตื่นเต้น “ขณะที่เราพิจารณาประกาศว่าปัญหานาเวียร์–สโตกส์ดูเหมือนจะได้รับการแก้แล้ว” และกระบวนการของสถาบัน “ไม่เร่งรีบโดยเจตนา”

- การตรวจสอบ Lean ตรวจว่าทุกขั้นตอนสืบเนื่องกันถูกต้อง แต่การตรวจว่าข้อความทางการตรงกับโจทย์ของเคลย์หรือไม่ เป็นงานของมนุษย์ที่ยังดำเนินอยู่

- ขอบเขต งานฉบับร่างวันที่ 17 ก.ย. ของคอนสแตนติน อิกนาโตวา และวีคอล โต้แย้งว่าวิธีนี้ใช้ไม่ได้หากไม่มีแรงภายนอก ผู้เชี่ยวชาญบางคนจึงมองว่าโจทย์แบบไม่มีแรงภายนอก ซึ่งหลายคนถือว่าเป็นโจทย์หลัก ยังคงเปิดอยู่

#### ข้อโต้แย้งเรื่องเครดิต

ทริสตัน บักมาสเตอร์ (NYU) และเลเวนต์ อัลเปอเก (ทำงานที่ Anthropic) เผยแพร่ผลเรื่องการระเบิดที่เกี่ยวข้อง รวมถึงสมการออยเลอร์สามมิติที่มีแรงภายนอก ก่อนหน้านั้นหนึ่งวัน ทั้งสองทีมต่อยอดจากแนวทางที่ดิเอโก กอร์โดบา และลุยส์ มาร์ติเนซ-โซโรอา พัฒนาไว้ บักมาสเตอร์ซึ่งใช้โมเดล AI หลายตัว รวมถึง Codex ของ OpenAI ตั้งคำถามว่าระบบของ OpenAI เข้าถึงงานของพวกเขาหรือไม่ และเรื่องการหารือเผยแพร่ร่วมกัน โดยเขาระบุว่าไม่ได้กล่าวหาผู้ใด ฝั่ง OpenAI ยอมรับว่าทั้งสองทำผลเรื่องออยเลอร์แบบมีแรงภายนอกได้ก่อน ระบุว่าบทพิสูจน์ของตนต่างออกไป และหลังการสอบสวนระบุว่าข้อความที่เขาป้อนใน Codex ไม่อาจส่งผลต่อระบบของบริษัทได้ ข้อเท็จจริงจากทั้งสองฝ่ายยังไม่มีการพิสูจน์โดยบุคคลที่สาม

แอนิเมชันเป็นภาพประกอบ แสดงกระแสวนที่บิดแคบเข้าหาจุดหนึ่ง ไม่ใช่กราฟของคำตอบที่มีการอ้าง

แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ): [OpenAI: On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem (8 Sep 2026, updated 10 Sep)](https://openai.com/index/navier-stokes-solution/); [Clay Mathematics Institute: Navier–Stokes Announcement (11 Sep 2026)](https://www.claymath.org/news/navier-stokes-announcement/); [Clay Mathematics Institute: Navier–Stokes Equation](https://www.claymath.org/millennium/navier-stokes-equation/); [Clay Mathematics Institute: Rules for the Millennium Prize Problems](https://www.claymath.org/millennium-problems/rules/); [Smithsonian Magazine (10 Sep 2026)](https://www.smithsonianmag.com/smart-news/ai-may-have-solved-a-longstanding-math-problem-with-a-million-dollar-prize-it-ignited-a-controversy-over-who-gets-credit-180989472/); [NYU Shanghai RITS (9 Sep 2026)](https://rits.shanghai.nyu.edu/ai/openai-navier-stokes-proof-credit-dispute/); [Quanta Magazine (8 Sep 2026)](https://www.quantamagazine.org/ai-has-solved-one-of-maths-1-million-millennium-prize-problems-20260908/); [Science News (9 Sep 2026)](https://www.sciencenews.org/article/ai-math-puzzle-navier-stokes-openai); [Scientific American: “Did OpenAI solve the wrong Navier–Stokes problem?” (21 Sep 2026)](https://www.scientificamerican.com/article/did-openai-solve-the-wrong-navier-stokes-problem/); [Constantin, Ignatova & Vicol, arXiv:2609.20803 (17 Sep 2026)](https://arxiv.org/abs/2609.20803)

## บทส่งท้าย

### ยังคงไหลต่อไป
*1757 → 2026*

ไม่ว่าบทพิสูจน์จะได้ข้อสรุปอย่างไร สมการนี้ยังทำงานทุกวัน ในทุกการพยากรณ์อากาศและทุกปีกเครื่องบิน

ไม่ว่าบทพิสูจน์ปี 2026 จะยืนหยัดได้หรือไม่ สมการนาเวียร์–สโตกส์ก็ยังทำงานทุกวัน ทั้งในการพยากรณ์อากาศ การออกแบบเครื่องบิน การแพทย์ และวิทยาศาสตร์ภูมิอากาศ ความปั่นป่วน กระแสวนที่ซ้อนอยู่ในกระแสวน ยังไม่มีใครเข้าใจได้ครบถ้วน และแม้จะยืนยันได้ว่าสมการระเบิดได้จริง ก็ไม่ได้แปลว่าน้ำจริงจะเกิดสิ่งที่เป็นอนันต์ ของไหลจริงประกอบด้วยโมเลกุล สมการที่ต่อเนื่องเรียบจึงเป็นเพียงแบบจำลองเมื่อลงไปถึงขนาดเล็กที่สุด นี่คือของไหลจำลองแบบสด ลองกวนดู แล้วสัมผัสปริศนานี้ด้วยตัวคุณเอง

บทส่งท้าย · 1757 → 2026

#### สองศตวรรษครึ่งของการไหล

- 1757 สมการของออยเลอร์สำหรับของไหลในอุดมคติที่ไร้แรงเสียดทาน

- 1822 นาเวียร์เพิ่มความหนืด

- 1845 บทความของสโตกส์เรื่องแรงเสียดทานภายในของไหล

- 1883 การทดลองสีย้อมของเรย์โนลด์ส: การไหลแบบราบเรียบและแบบปั่นป่วน

- 1911–12 ฟอน คาร์มาน อธิบายแถวกระแสวน

- 1922 ริชาร์ดสัน: การถ่ายทอดพลังงานแบบขั้นบันได และการพยากรณ์อากาศเชิงตัวเลข

- 1941 ทฤษฎีความปั่นป่วนของคอลโมโกรอฟ

- 1950 การพยากรณ์อากาศด้วยคอมพิวเตอร์ครั้งแรกบน ENIAC

- 2000 นาเวียร์–สโตกส์กลายเป็นปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษ

- 2026 OpenAI อ้างว่าพบคำตอบที่ระเบิดได้ การตรวจสอบและเรื่องเครดิตยังเป็นที่ถกเถียง

นักคณิตศาสตร์ เกรกอรี อายิงก์ ให้สัมภาษณ์กับ *Science News* ว่าการระเบิดของสมการแทบไม่มีผลในทางปฏิบัติ เพราะของไหลจริงประกอบด้วยโมเลกุล และรู้กันอยู่แล้วว่าสมการแบบต่อเนื่องใช้ไม่ได้ที่ขนาดเล็กมาก ความสำคัญจึงอยู่ที่ตัวคณิตศาสตร์ ภาพนิ่งเต็มจอทุกภาพสร้างด้วย AI เพื่อช่วยจินตนาการ ไม่ใช่ภาพถ่ายจริง ลูกโลกใช้ภาพ NASA Blue Marble และรูปแบบลมเป็นภาพประกอบ

ลองเล่น: ลากผ่านถังเพื่อกวน ปุ่มบนภาพใช้ล้างถังหรือเปลี่ยนความหนืด

#### แหล่งข้อมูล (ภาษาอังกฤษ)

[Wikipedia: Navier–Stokes equations](https://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations)
[Britannica: Navier–Stokes equation](https://www.britannica.com/science/Navier-Stokes-equation)
[Wikipedia: Euler equations (fluid dynamics)](https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_equations_(fluid_dynamics))
[Wikipedia: d’Alembert’s paradox](https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_paradox)
[Wikipedia: Claude-Louis Navier](https://en.wikipedia.org/wiki/Claude-Louis_Navier)
[Wikipedia: George Gabriel Stokes](https://en.wikipedia.org/wiki/Sir_George_Stokes,_1st_Baronet)
[Wikipedia: Viscosity](https://en.wikipedia.org/wiki/Viscosity)
[Wikipedia: No-slip condition](https://en.wikipedia.org/wiki/No-slip_condition)
[Wikipedia: Reynolds number](https://en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_number)
[Wikipedia: Osborne Reynolds](https://en.wikipedia.org/wiki/Osborne_Reynolds)
[Wikipedia: Kármán vortex street](https://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1rm%C3%A1n_vortex_street)
[Wikipedia: Turbulence](https://en.wikipedia.org/wiki/Turbulence)
[Wikipedia: Energy cascade](https://en.wikipedia.org/wiki/Energy_cascade)
[Wikipedia: Kolmogorov microscales](https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_microscales)
[Wikipedia: Lewis Fry Richardson](https://en.wikipedia.org/wiki/Lewis_Fry_Richardson)
[Wikipedia: Numerical weather prediction](https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_weather_prediction)
[Wikipedia: Computational fluid dynamics](https://en.wikipedia.org/wiki/Computational_fluid_dynamics)
[Wikipedia: Direct numerical simulation](https://en.wikipedia.org/wiki/Direct_numerical_simulation)
[ACM SIGGRAPH History Archive: “Stable fluids”, Stam (1999)](https://history.siggraph.org/?p=116411)
[Wikipedia: Vortex stretching](https://en.wikipedia.org/wiki/Vortex_stretching)
[Clay Mathematics Institute: Navier–Stokes Equation](https://www.claymath.org/millennium/navier-stokes-equation/)
[Clay Mathematics Institute: Navier–Stokes Announcement (11 Sep 2026)](https://www.claymath.org/news/navier-stokes-announcement/)
[Clay Mathematics Institute: Rules for the Millennium Prize Problems](https://www.claymath.org/millennium-problems/rules/)
[Wikipedia: Millennium Prize Problems](https://en.wikipedia.org/wiki/Millennium_Prize_Problems)
[Wikipedia: Navier–Stokes existence and smoothness](https://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_existence_and_smoothness)
[OpenAI: On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem (8 Sep 2026, updated 10 Sep)](https://openai.com/index/navier-stokes-solution/)
[Smithsonian Magazine (10 Sep 2026)](https://www.smithsonianmag.com/smart-news/ai-may-have-solved-a-longstanding-math-problem-with-a-million-dollar-prize-it-ignited-a-controversy-over-who-gets-credit-180989472/)
[NYU Shanghai RITS (9 Sep 2026)](https://rits.shanghai.nyu.edu/ai/openai-navier-stokes-proof-credit-dispute/)
[Quanta Magazine (8 Sep 2026)](https://www.quantamagazine.org/ai-has-solved-one-of-maths-1-million-millennium-prize-problems-20260908/)
[Science News (9 Sep 2026)](https://www.sciencenews.org/article/ai-math-puzzle-navier-stokes-openai)
[Scientific American: “Did OpenAI solve the wrong Navier–Stokes problem?” (21 Sep 2026)](https://www.scientificamerican.com/article/did-openai-solve-the-wrong-navier-stokes-problem/)
[Constantin, Ignatova & Vicol, arXiv:2609.20803 (17 Sep 2026)](https://arxiv.org/abs/2609.20803)